Рассмотрим уравнение с одной неизвестной x

Теорема: Если f - определенна, непрерывна и дважды дифференцируема на отрезке [a,b], а также верно условие f(a)f(b) < 0, т.е. функция принимает на концах отрезка значения с противоположными знаками, а вторая производная не меняет знака на всем отрезке, то данное уравнение имеет на этом отрезке единственное решение.

Метод Ньютона, называемый также методом касательных, состоит в следующем. Рассмотрим в точке x₀ касательную к кривой y=f(x), задаваемую уравнением:

Положим y=0, находим точку x₁ пересечения касательной с осью абсцисс:

Построив касательную в точке x₁ получаем

по аналогичной формуле точку x₂ пересечения этой касательной с осью x и т.д.:

Из геометрических соображений ясно, что при условиях теоремы итерационная последовательность {x_n} монотонно сходится к искомому решению уравнения.

Метод имеет квадратичную скорость сходимости, но очень чувствителен к выбору начального приближения.

Ссылки:

• Решение линейного уравнения
• Решение квадратного уравнения
• Решение нелинейного уравнения методом дихотомии
• Решение нелинейного уравнения методом хорд