Math.by - Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Введите систему уравнений:

- количество неизвестных

Теория

Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса (метод исключений Гаусса). Суть метода - это последовательное исключение неизвестных, т.е. когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные переменные.

Матрица, составленная из все ai,j, называется основной матрицей системы. Если к этой матрице добавить вектор столбец, составленный из bi, то такая матрица называется расширенной матрицей системы.

Теорема Кронекера-Капелли (условие совместности системы): системат совместна тогда и только тогда, ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа:

  • На первом этапе (прямой ход) система приводится ступенчатой или треугольной форме. Вычтем из второго уравнения системы первое, умноженное на такое число, чтобы обнулился коэффициент при x1. Затем таким же образом вычтем первое уравнение из третьего, четвертого и т.д. Тогда исключаются все коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали. Затем при помощи второго уравнения исключим из третьего, четвертого и т.д. уравнений коэффициенты второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, исключим из матрицы все коэффициенты, лежащие ниже главной даигонали.
  • На втором этапе (обратный ход) выражаем все получившиеся базисные переменные через небазисные и построим фундаментальную систему решений. Если все переменные являются базисными, то получим единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.




Вернуться к списку


—оюз образовательных сайтов

Copyright © 2010-2015 www.math.by

e-mail: admin@math.by