Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса (метод исключений Гаусса). Суть метода - это последовательное исключение неизвестных, т.е. когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные переменные.

Матрица, составленная из все a_i,j, называется основной матрицей системы. Если к этой матрице добавить вектор столбец, составленный из b_i, то такая матрица называется расширенной матрицей системы.

Теорема Кронекера-Капелли (условие совместности системы): системат совместна тогда и только тогда, ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа:

• На первом этапе (прямой ход) система приводится ступенчатой или треугольной форме. Вычтем из второго уравнения системы первое, умноженное на такое число, чтобы обнулился коэффициент при x₁. Затем таким же образом вычтем первое уравнение из третьего, четвертого и т.д. Тогда исключаются все коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали. Затем при помощи второго уравнения исключим из третьего, четвертого и т.д. уравнений коэффициенты второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, исключим из матрицы все коэффициенты, лежащие ниже главной даигонали.
• На втором этапе (обратный ход) выражаем все получившиеся базисные переменные через небазисные и построим фундаментальную систему решений. Если все переменные являются базисными, то получим единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Ссылки:

• Решение систем линейных уравнений методом LU
• Решение систем линейных уравнений методом Крамера